Anhand der Umwandlung einer beliebigen Dezimalzahl in eine Binärzahl veranschaulichen, wie das binäre Zahlensystem funktioniert.
Informatisches Denken: Algorithmisches Denken
Begründen, warum im Innern eines Computers nicht wirklich Nullen und Einsen herumschwirren.
Informatisches Denken: Abstraktion
Darlegen, dass anhand von Nullen und Einsen trotzdem zutreffend erläutert werden kann, was auf dem Computer gespeichert ist.
Informatisches Denken: Abstraktion
Die Logik erklären, warum das rechts befindliche Bit eine Eins darstellen muss.
Informatisches Denken: Logik
Erklären, warum wir für binäre Darstellungen zwei beliebige Zustände oder Dinge nehmen können und es nicht immer Nullen und Einsen sein müssen.
Informatisches Denken: Abstraktion
Erklären, wie Stellenwertkenntnisse gefördert werden, wenn wir verstehen, wie sich Binärzahlen erhöhen.
Mathematik: Zahlenverständnis
Gerade und ungerade Zahlen identifizieren, indem sie darlegen, warum sich die Zahl ganz rechts von den anderen unterscheidet.
Mathematik: Zahlenverständnis
Zahlen zu einer gegebenen Menge hinzufügen.
Mathematik: Zahlenverständnis
Schlüsselfragen
Welche verschiedenen Zahlensysteme kennen wir? (Mögliche Antworten wären beispielsweise: Römische Ziffern, Strichlisten, Zahlenbasen wie binäre, oktale und hexadezimale Systeme, sprachbasierte Systeme wie Chinesisch oder Altägyptisch.)
Warum verwenden wir normalerweise zehn Ziffern? (Vermutlich weil wir zehn Finger haben und weil es, beispielsweise im Vergleich zu Strichlisten, eine ziemlich effiziente Methode ist, Dinge zu erfassen.)
Warum haben wir verschiedene Zahlensysteme? (Sie sind für unterschiedliche Dinge geeignet. Beispielsweise sind Strichlisten beim Zählen praktisch und römische Ziffern können dazu dienen, eine Zahl mysteriöser aussehen zu lassen oder schwerer lesbar zu machen.)
Lektionseinstieg
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Hinweis der Autoren
Sobald Schüler verstehen, wie das binäre Zahlensystem funktioniert, haben sie unserer Erfahrung nach viele Fragen und möchten begeistert die in dieser Lektion behandelten Konzepte näher erkunden. Wir haben jede Menge Informationen in diese Lektion gepackt, damit jedoch nicht beabsichtigt, dass sämtliche Konzepte unterrichtet und abgedeckt werden. Wir wollten Ihnen lediglich hilfreiche Informationen für den Fall an die Hand geben, dass Ihre Schüler Interesse bekunden, mehr zu lernen.
Hinweise zu Ressourcen
Hier ist auch eine interaktive Online-Version der Binärkarten aus dem Computer Science Field Guide verfügbar, es empfiehlt sich jedoch, mit physischen Karten zu arbeiten.
Halten Sie die ersten fünf Karten (1, 2, 4, 8 und 16 Punkte), jedoch ohne dass die Punkte für die Schüler sichtbar sind. Bitten Sie fünf Schüler darum, sich freiwillig zu melden, um als „Bits“ zu fungieren, und sich in einer Reihe vor der Klasse aufzustellen.
Händigen Sie der rechts stehenden Person die 1-Punkt-Karte aus. Erläutern Sie, dass er oder sie nun ein „Bit“ (also eine binäre Einheit) ist und ein oder aus, schwarz oder weiß, oder 0 oder 1 Punkt sein kann. Die einzige Regel ist, dass die Karte dieser Person entweder vollständig sichtbar oder nicht sichtbar (d. h. umgedreht) ist. Händigen Sie der zweiten Person von rechts die zweite Karte aus. Weisen Sie darauf hin, dass diese Karte entweder 2 Punkte hat (sichtbar ist) oder keine (umgedreht ist).
Fragen Sie die Klasse, wie viele Punkte auf der nächste Karte sein werden. Lassen Sie die Schüler erklären, warum sie dieser Auffassung sind.
Unterrichtsbeobachtungen
Schüler behaupten in der Regel, dass es drei sein sollten. Wenn sie vier angeben, haben sie diese Übung möglicherweise bereits schon einmal gemacht (oder haben die Karten gesehen, die Sie halten!). Wird die falsche Zahl angegeben, berichtigen Sie dies nicht, sondern fahren Sie kommentarlos fort, damit die Schüler die Regel selbst erarbeiten können.
Geben Sie wortlos die 4-Punkt-Karte aus und lassen Sie die Schüler versuchen, ein Muster zu erkennen.
Unterrichtsbeobachtungen
In den meisten Fällen weisen einige Schüler darauf hin, dass die Drei ausgelassen wurde. Merken Sie einfach an, dass Ihnen kein Fehler unterlaufen ist. So können die Schüler versuchen, das Muster selbst zu erarbeiten.
Fragen Sie, was die nächste Karte ist und warum.
Unterrichtsbeobachtungen
An dieser Stelle nehmen Schüler für gewöhnlich an, dass die nächste Karte die 6 ist (nachdem sie auf die Zahlen 2 und 4 folgt). Wenn Sie ihnen jedoch etwas mehr Zeit zum Nachdenken lassen, kommen normalerweise einige auf die 8, und diese Schüler sollten in der Lage sein, die anderen zu überzeugen, dass sie richtig liegen. (Schüler können dies auf verschiedene Weise erklären. Beispielsweise, dass jede Karte den doppelten Wert der vorherigen hat, oder dass, wenn man zwei einer Karte nimmt, sich daraus die nächste Karte ergibt.)
Schüler sollten in der Lage sein, die fünfte Karte (16 Punkte) ohne Hilfe zu ermitteln:
Wie viele Punkte hätte die nächste Karte, wenn wir nach links fortfahren würden? (32) Die nächste ...? (Es ist nicht nötig, dass Schüler diese Karten halten, da sie im nächsten Teil der Aktivität nicht verwendet werden. Sie können sie ihnen jedoch zeigen, um zu bestätigen, dass sie richtig liegen.)
Fahren Sie mit 64 und 128 Punkten fort.
Unterrichtsbeobachtungen
Bei 128 Punkten hätten wir 8 Karten. Das sind 8 Bits, was allgemein als ein Byte bezeichnet wird. Dies hier zu erwähnen, kann unter Umständen ablenkend sein, manche Schüler mögen jedoch bereits mit dem Konzept vertraut sein, dass 8 Bits ein Byte sind, und werden dies anmerken. Einstweilen arbeiten wir jedoch mit einer 5-Bit-Darstellung, was nicht ganz so praktisch ist wie ein ganzes Byte, zum Unterrichten aber eine gute Größe ist. (Ein Byte ist eine praktische Zusammenfassung von Bits und ein Computerspeicher basiert normalerweise auf Bytes und nicht auf einzelnen Bits. Es ist ungefähr so wie im Dutzend verkaufte Eier. Natürlich könnten sie auch einzeln verkauft werden, sie im Dutzend zusammenzufassen ist jedoch für gewöhnlich praktischer für alle Beteiligten.)
Oftmals werden die Karten fälschlicherweise von links nach rechts ausgehändigt. Bei der Zahlendarstellung gilt jedoch der Grundsatz, dass sich der geringste Wert rechts befindet, was für Schüler eine wichtige Erkenntnis ist, die sie aus dieser Übung gewinnen können.
Lektionsaktivitäten
Erinnern Sie die Schüler an die Regel, dass eine Karte die Punkte entweder vollständig anzeigt oder keine davon sichtbar sind. Wenn wir Karten durch Zeigen der Vorder- und Rückseiten ein- oder ausschalten können – wie würden wir genau 9 Punkte darstellen? Fragen Sie zunächst, ob sie die 16er-Karte haben möchten (sie sollten erkennen, dass diese zu viele Punkte hat), dann die 8er-Karte (sie werden vermutlich folgern, dass ohne diese Karte nicht genügend Punkte übrig sind), dann 4, 2 und 1. Mit nur der Regel ausgestattet, dass jede Karte entweder sichtbar ist oder nicht, kommen Schüler für gewöhnlich auf die folgende Darstellung.
Mathematische Zusammenhänge
Basis 10 bzw. das Dezimalsystem (unser Zahlensystem) enthält 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Wenn wir im Dezimalsystem zählen, zählen wir von 0 bis 9 und haben dann keine Ziffern mehr. Also müssen wir eine weitere Spalte hinzufügen, eine 1 in diese Spalte eintragen und erneut von 0 anfangen zu zählen. So erhalten wir die Zahl 10. Dann wiederholen wir diesen Vorgang, bis die Zehnerspalte 9 und die Einserspalte 9 ausweisen (und somit 99 ergeben) und fügen dann eine weitere Spalte hinzu. Damit haben wir das bekannte Stellenwertsystem, das etwa folgendermaßen angezeigt werden kann:
100 000er | 10 000er | 1 000er | 100er |10er | 1
Hinweis: Dies ist ein erweitertes Beispiel. Verwenden Sie das Stellenwertbeispiel, das für den in Ihrer Klasse bereits unterrichteten Stoff geeignet ist.
Basis 2 bzw. das Dualsystem (Binärsystem) folgt derselben Logik, gelangt jedoch viel schneller zum „nächsten“ Stellenwert, da es nur zwei Ziffern gibt, nämlich 0 und 1. Die binären Stellenwerte sehen folgendermaßen aus:
32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Gelegentlich bringen Schüler die Reihenfolge der Einheiten in einer binären Darstellung durcheinander. Um Schülern dabei zu helfen, die richtige Anordnung von binären Einheiten zu verstehen, können Sie beispielsweise fragen: Wenn ich euch 435,00 Euro geben würde – welche Zahl wäre für euch von größter Bedeutung? Die 4 oder die 5? Aus welchem Grund? Das Gleiche gilt für die binäre Darstellung: der niedrigste Wert (geringwertigste Einheit) steht ganz rechts, während die höchstwertigste Einheit ganz links steht.
Fragen Sie nun: „Wie würdet ihr die Zahl 21 bilden?“ (Fragen Sie auch hier zunächst, ob sie die 16er-Karte haben möchten usw., von links nach rechts).
Dies ist ein Algorithmus zur Umwandlung von Zahlen in eine binäre Darstellung. Gehen wir die dafür erforderlichen Schritte einmal gemeinsam durch.
a. Fangen Sie mit allen Zahlen eingeschaltet an (alle Punkte sind sichtbar).
b. Überlegen wir uns die die Darstellung der Zahl 10
c. Geht 16 in 10? Nein – also schalten wir sie aus.
d. Geht 8 in 10? Ja – also lassen wir sie an. Wie viele verbleiben? (2)
e. Geht 4 in 2? Nein – also schalten wir sie aus.
f. Geht 2 in 2? Ja – also lassen wir sie an. Wie viele verbleiben? (keine)
g. Schalten wir also die 1 aus.
Das Gelernte anwenden
Teilen Sie die Schüler paarweise ein.
Geben Sie jedem Paar einen Satz der kleineren Binärkarten (entweder fünf oder sechs Karten, je nach dem, mit welchem Zahlenbereich sie vertraut sind).
Lassen Sie sie nun mit nur fünf Karten den Algorithmus für Zahlen wie 20, 15 und 8 üben (und dabei von links nach rechts über die einzelnen Karten entscheiden).
Erläutern Sie den Schülern, dass wir mit nur zwei Einheiten arbeiten und diese darum binäre Einheiten genannt werden. Diese Einheiten sind so verbreitet, dass wir eine Kurzbezeichnung dafür haben: Schreiben Sie „Binäre Einheit“ auf ein Blatt Papier und reißen Sie dann das „Bi“ am Anfang und das „t“ am Ende ab, setzen die beiden zusammen und fragen, welche Wortkombination („Bit“) dabei herauskommt. Das ist die Kurzbezeichnung für eine binäre Einheit und die fünf Karten, die sie haben, sind daher im Grunde fünf Bits.
Zählen wir jetzt von der kleinsten Zahl, die wir bilden können, bis zur höchsten Zahl:
a. Was ist die kleinste Zahl? (eventuell geben Schüler die 1 an und erkennen dann, dass es tatsächlich die 0 ist).
Lassen Sie die Zahl Null mit den Karten anzeigen (d. h. keine Punkte sichtbar).
Zählen wir jetzt einmal vorwärts 1, 2, 3, 4 … (jedes Paar sollte diese Zahlen untereinander ausarbeiten).
Sobald sich dabei eine Routine entwickelt, fragen Sie: Wie oft sehen wir die 1-Punkt-Karte? (jedes zweite Mal, also jede ungerade Zahl)
a. Welche anderen Muster können wir erkennen? (manche mögen feststellen, dass die 2-Punkt-Karte alle zwei Zahlen umgedreht wird, die 4-Punkt-Karte alle vier Zahlen usw.; mit der 16-Punkt-Karte passiert also nicht viel!)
Fahren Sie fort, bis alle Karten auf „ein“ geschaltet sind und bis 31 gezählt wurde. Was passiert als nächstes? (Wir müssen eine neue Karte hinzufügen.) Wie viele Punkte sind darauf? (32) Was müssen wir mit den anderen fünf Karten machen, wenn wir bei 32 ankommen? (wir müssen sie alle ausschalten)
Sehen wir uns dies etwas näher an ...
a. Wenn ich nun zwei Bits habe, was kann ich höchstens bilden? (3)
b. Ich füge ein weiteres Bit hinzu. Wie viele Punkte hat es? (4)
c. Um 4 zu bilden, schalte ich die ersten beiden Bits aus, richtig?
d. Wenn wir jetzt alle drei Bits einschalten, haben wir wie viel? (7)
e. Ich füge ein weiteres Bit hinzu und das hat wie viele Punkte? (8)
f. Wiederholen Sie dies, bis ein Muster erkannt wird, dass die Zahl auf der nächsten Karte zur Linken um eins größer ist als die Gesamtzahl der Punkte auf allen Karten zur Rechten (beispielsweise ergeben die 8er, 4er, 2er und 1er Karte 15 Punkte, die nächste Karte zur Linken ist also 16). Dies erleichtert das Berechnen der Zahl, wenn alle Bits eingeschaltet sind – die Karte zur Linken verdoppeln und 1 subtrahieren.
g. Wie viele verschiedene Zahlen kann ich mit zwei Bits bilden? (4; Schüler geben oftmals 3 als Antwort, da sie die 0 nicht mitgezählt haben)
h. Fügen wir nun das nächste Bit hinzu. Wie viele verschiedene Zahlen können wir jetzt bilden? (8; auch hier wird oft zunächst 7 als Antwort gegeben)
i. Wiederholen Sie dies, bis ein Muster erkannt wird, dass mit jedem Hinzufügen eines weiteren Bits doppelt so viele Zahlen dargestellt werden können.
Unterrichtsbeobachtungen
Manche Schüler mögen sich hier mit dem Konzept schwer tun, dass die Anzahl der Werte um eins größer ist als der Höchstwert (z. B. von 0 bis 7, hier haben wir 8 verschiedene Zahlen). Dieses Muster kann auch bei der Anzahl normaler Dezimalzahlen beobachtet werden: Die größte Zahl ist 9, es gibt jedoch 10 mögliche Zahlen (einschließlich 0). Dies wird gelegentlich auch als Zaunpfahlproblem bezeichnet (die Anzahl der Zaunpfähle ist um eins größer als die Anzahl der Zwischenräume), was bei der elektronischen Datenverarbeitung häufig vorkommt.
Lektionsbetrachtung
Würde diese Aktivität auch mit weißen und cremefarbenen Karten funktionieren? Warum? Warum nicht? (Generell könnten diese verwendet werden, es wäre jedoch keine gute Idee. Hier sind wir auf die Antwort aus, dass es sich nicht um Kontrastfarben handelt und daher schwer zu erkennen wäre, ob sie ein- oder ausgeschaltet sind. Dies zeigt auf, warum Computer einfach zu unterscheidende physische Darstellungen verwenden.)
Welche gegensätzlichen Symbole oder Möglichkeiten gibt es, die wir binär als ein und aus darstellen können?
(Hier sind Ideen gefragt wie beispielsweise die Karten nach oben oder nach unten zu halten, einfach den Arm hochzustrecken, sitzen oder stehen oder sich anderer Darstellungen wie ein- oder aus- geschalteter Glühbirnen zu bedienen.)
Computer sind billiger und einfacher zu bauen, wenn sie Daten anhand von nur zwei gegensätzlichen Werten darstellen, die von uns als die Zahlen 0 und 1 dargestellt werden. Was könnten wir noch verwenden, um zwei Gegensätze in Schriftform darzustellen? (Etwa ein Kreuz oder Häkchen, ein glückliches oder trauriges Gesicht, oder eine sonstige Symbolpaarung.)
Führt man diesen Ansatz weiter, könnten die Zahlen auch durch eine elektrische Spannung dargestellt werden, die entweder nahe bei 5 Volt oder nahe bei 0 Volt liegt. Der Schaltkreis wäre so konstruiert, dass alles kleiner als ca. 2,5 Volt als 0 und alles größer als 2,5 Volt als 1 zählt. Genau wie die gegensätzlichen Farben der Karten, kann auch dies leicht verstanden werden. Wir hätten die Zahlen von 0 bis 10 anhand von zehn Kartenfarben darstellen können und wir könnten mit zehn Spannungsbereichen (0 bis 0,5; 0,5 bis 1,0 usw.) arbeiten, es ist jedoch um einiges komplizierter, dafür schnelle und akkurate Schaltkreise zu konstruieren.
Informatische Denkzusammenhänge erkennen
Aus allen Lektionen ergeben sich Verbindungen zu informatischem Denken. Nachstehend sind ein paar allgemeine Verbindungen aufgeführt, die diesen Inhalt betreffen.
Teaching computational thinking through CSUnplugged activities supports students to learn how to describe a problem, identify what are the important details they need to solve this problem, break it down into small logical steps so that they can then create a process which solves the problem, and then evaluate this process. These skills are transferable to any other curriculum area, but are particularly relevant to developing digital systems and solving problems using the capabilities of computers.
Diese informatischen Denkkonzepte sind alle miteinander verbunden und stützen sich gegenseitig. Insoweit möchten wir jedoch anmerken, dass nicht alle Aspekte des informatischen Denkens in jeder Unterrichtseinheit oder Lektion vorkommen. Wir haben jeweils die für Sie wichtigen Verbindungen hervorgehoben, um Ihre Schüler in Aktion zu beobachten. Unser Artikel zu informatischem Denken enthält weitere Hintergrundinformationen dazu, wie wir informatisches Denken definieren.
Algorithmisches Denken
In dieser Lektion haben wir einen Algorithmus angewendet, um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln. Es ist ein Algorithmus, da es sich um ein schrittweises Verfahren handelt, das für jede Eingabe stets die richtige Lösung liefert, solange das Verfahren genau eingehalten wird.
Hier ist ein Algorithmus in Textform, mit dem ausgerechnet werden kann, welche Punktekarten zu sehen sein sollten:
Zunächst müssen wir die Anzahl der zu zeigenden Punkte herausfinden. (Wir bezeichnen dies als die „Anzahl der verbleibenden Punkte“, was anfangs die insgesamt zu zeigende Anzahl ist.)
Für jede Karte, von links nach rechts (d. h. 16, 8, 4, 2 und dann 1), gilt:
Wenn die Anzahl der Punkte auf der Karte höher ist als die Anzahl der verbleibenden Punkte:
Karte verdecken
Anderenfalls:
Karte zeigen
und die Anzahl der Punkte auf der Karte von der Anzahl der verbleibenden Punkte abziehen
Hinweis: Dieser Algorithmus (von rechts nach links vorgehen) funktioniert mit den Karten sehr gut, wenn wir hierfür jedoch Computerprogramme nachschlagen, finden wir unter Umständen einen anderen Algorithmus, bei dem von rechts nach links vorgegangen wird. Es ist nicht ungewöhnlich, dass es mehrere Algorithmen gibt, die dasselbe Ergebnis erzielen.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche Schüler gehen beim Umwandeln von dezimal zu binär methodisch vor? Welche Schüler beginnen mit der Karte ganz links und arbeiten sich dann Karte für Karte nach rechts vor, anstatt Karten zufällig auszuwählen und hin und her umzudrehen, bis sie zur richtigen Zahl gelangen?
Abstraktion
Die binäre Darstellung von Zahlen (nur mittels 0 und 1) ist eine Abstraktion, hinter der sich die Komplexität der innerhalb eines Computers befindlichen Elektronik und Hardware verbirgt, mittels derer Daten gespeichert werden. Abstraktion hilft uns, Dinge zu vereinfachen, da wir Einzelheiten ignorieren können, die wir gegenwärtig nicht wissen müssen.
In diesem Fall können wir beispielsweise folgende Einzelheiten ignorieren: Computer nutzen physische Elemente wie elektronische Schaltkreise und Spannungen in Stromkreisen, um Daten zu speichern und weiterzuleiten, was durch zahlreiche komplexe physikalische und mathematische Theorien ermöglicht wird.
Es ist für uns völlig unerheblich, wie diese Schaltsysteme funktionieren, um Daten zu nutzen und Dinge binär darzustellen. Die Verwendung binärer Ziffernfolgen ist eine Abstraktion dieser Schaltsysteme und ermöglicht es uns, Zahlen aus Bits (Nullen und Einsen) bestehend darzustellen, Daten zu verstehen und Probleme zu lösen, ohne darüber nachdenken zu müssen, was „unter der Haube“ eines Computers vor sich geht.
Außerdem lässt sich anhand von Abstraktion überlegen, wie jede beliebige Zahl binär dargestellt werden kann. Dazu werden lediglich zwei unterschiedliche Dinge benötigt. Und es kann sich dabei um alles Mögliche handeln! Zwei verschiedene Farben, zwei verschiedene Tiere, zwei verschiedene Symbole usw. Solange es zwei davon gibt und die beiden verschieden sind, kann damit jede beliebige Zahl binär dargestellt werden, genauso wie ein Computer mithilfe von elektronischen Impulsen Daten darstellt.
Mittels binärer Ziffern kann jede Art von Daten, die auf einem Computer gespeichert ist, dargestellt werden. Bei der Darstellung anderer Formen von Daten (wie Buchstaben, Bilder und Ton) setzen wir ebenfalls Abstraktion ein, da wir die Details aller Binärzahlen darunter verbergen und lediglich dem Gesamtbild der Daten Beachtung schenken. Letztendlich werden alle Formen von Daten als Zahlen dargestellt (die wiederum eigentlich nur eine Kombination aus Bits sind) – bei Texten haben wir eine Zahl für jeden Buchstaben, bei Bildern verwenden wir eine Zahl für jede Farbe usw. Wir wenden vielerlei Abstraktionsebenen an! Eine geläufige Form von Abstraktion ist beispielsweise, dass der Monat „Oktober“ durch die Zahl zehn dargestellt werden kann, die wiederum durch die Bits 01010 dargestellt wird, und wenn diese nun im Computer als Spannungen gespeichert werden, ergibt sich für die Spannungen letztendlich die Darstellung „niedrig, hoch, niedrig, hoch, niedrig“.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche der Schüler können demonstrieren, wie Binärzahlen mit anderen Mitteln als „Einsen und Nullen“, „Schwarz und Weiß“ oder „Ein und Aus“ umgewandelt und dargestellt werden können (beispielsweise mittels :) und :( oder anhand von stehenden oder sitzenden Personen)? Wenn es Ihnen möglich ist, Begriffe wie „Schwarz“ und „Weiß“ mit 0 und 1 zu vertauschen, ohne dass sich die Schüler Gedanken über den Unterschied machen, wenden sie Abstraktion an.
Dekomposition
Bei der Dekomposition wird beispielsweise die Umwandlung einer Zahl zur Binärzahl in die einzelnen Bits zerlegt. Die Frage „Sollte dies 1 oder 0 sein“ für jede Punktekarte zerlegt das Problem in eine Reihe von Fragestellungen.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche Schüler erkennen, dass es wichtig ist, mit der Karte ganz links zu beginnen und stets ein Bit nach dem anderen ins Auge zu fassen? Welche Schüler konzentrieren sich jeweils auf ein einzelnes Bit, anstatt sich selbst mit dem Versuch zu überwältigen, alle auf einen Schlag auszurechnen?
Generalisierung und Muster
Das Erkennen von Mustern in der Funktionsweise des binären Zahlensystems hilft uns dabei, die damit einhergehenden Konzepte besser zu verstehen und diese Konzepte und Muster zu verallgemeinern, um sie dann auf andere Probleme anzuwenden.
Auf einem einfachen Niveau haben wir mit den Zahlen 1, 2 und 4 angefangen, die dann von den Schülern auf sich verdoppelnde Werte generalisiert wurden. Bei dieser Übung wurden 5-Bit-Zahlen verwendet, die Schüler sollten jedoch in der Lage sein, dies auf 8-Bit-Zahlen oder größer zu generalisieren.
Der Algorithmus zur Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Binärzahl folgt einem Muster, das verallgemeinert werden kann, um die Frage des Wechselgelds bei einer Barzahlung zu lösen. Für Binärzahlen beginnen wir mit dem größten Bit und schalten es jeweils „ein“, wenn es benötigt wird, oder schalten es „aus“, wenn es nicht benötigt wird. Genauso ist es auch, wenn wir Wechselgeld geben: wir beginnen mit der größten Stückelung und fügen dann sooft wie nötig eine Münze (oder einen Geldschein) hinzu. Jargon-Hinweis: Das nennt sich gieriger Algorithmus – er versucht bei jedem Teilschritt, so viel wie möglich zu erreichen!
Mathematische Zusammenhänge
Fragen Sie die Schüler, was im Gegensatz zum allgemeinen Algorithmus des Wechselgeldgebens das Besondere an der Umwandlung von dezimalen zu binären Zahlen ist, und machen Sie sie darauf aufmerksam, dass im allgemeinen Fall unter Umständen mehr als eine Münze derselben Stückelung herausgegeben werden muss, während bei der binären Umwandlung immer nur ein (oder kein) Element einer jeden Einheit gegeben ist.
Beim binären Aufwärtszählen liegt ein Muster vor, wie oft bestimmte Karten umgedreht sind. Das erste Bit (mit 1 Punkt) wird jedes Mal umgedreht, das zweite (mit 2 Punkten) wird bei jeder zweiten Zahl umgedreht, das dritte (mit 4 Punkten) bei jeder vierten ... Gibt es ein ähnliches Muster, wenn wir in Dezimalzahlen zählen?
Wenn wir fünf der Karten haben und alle sichtbar sind, haben wir die Zahl 31, die um eins kleiner ist als der Wert der nächsten Karte, 32. Trifft dieses Muster immer zu?
Die Anzahl der Zahlen, die mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt werden kann, entspricht dem Wert des nächsten Bit, das hinzugefügt werden kann. Beispiel: Anhand von vier Karten (1, 2, 4, 8) können 16 unterschiedliche Zahlen (0-15) dargestellt werden und die nächste Karte in der Folge ist die Zahl 16. Jedes Mal, wenn wir die nächste Karte hinzufügen, verdoppeln wir auch die Anzahl der verschiedenen Zahlen, die wir darstellen können.
Wenn wir mithilfe dieser Muster vorgehen, können wir die Beziehung zwischen der Anzahl der verwendeten Bits und ihrer Darstellungsfähigkeit besser nachvollziehen.
Erläutern Sie eines oder mehrere der folgenden Muster:
Dass mit einer bestimmten Anzahl an Karten dieselbe Anzahl an verschiedenen Zahlen gebildet werden kann, wie die Anzahl der Punkte, die sich auf der nächsten links hinzuzufügenden Karte befinden würde (dabei stets daran denken, dass auch 0 eine Zahl ist).
Beim Aufwärtszählen: die erste Karte (1 Punkt) wird jedes Mal umgedreht, die zweite Karte (2 Punkte) alle zwei Zahlen, die dritte (4 Punkte) alle vier Zahlen und die vierte (8 Punkte) alle acht Zahlen ...
Dass sich, wenn alle vorhanden Karten sichtbar sind, die nächste Binärkartenzahl minus 1 ergibt.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche Schüler haben schnell verstanden, dass jede Karte die Zahl der Punkte verdoppelt hat? Können die Schüler die Ähnlichkeiten zwischen diesem System und dem Multiplizieren von Stellenwerten mit 10 beim Verwenden des Dezimalsystems erkennen?
Welche Schüler haben keine Mühe, die Muster umdrehender Karten beim Zählen mit Binärzahlen nachzuvollziehen?
Logik
Logisches Denken bedeutet, von bereits bekannten Regeln Gebrauch zu machen und von diesen Regeln unter Einsatz von Logik weitere Regeln und Informationen abzuleiten. Sobald wir wissen, welche Zahlen die einzelnen Binärkarten darstellen, können wir mithilfe dieses Wissens herausfinden, wie weitere Zahlen mit den Karten dargestellt werden können. Wenn wir uns nun einprägen, wie wir die mit fünf Karten möglichen Zahlen darstellen können – bedeutet dies, dass wir dann wissen, wir wir jede beliebige Zahl mit einer bestimmten Anzahl von Bits darstellen können? Das bedeutet es zwar nicht, aber wir können nachvollziehen, wie es funktioniert, wenn wir die Logik verstehen, auf deren Basis diese Zahlen mit den fünf Karten dargestellt werden.
Ein gutes Beispiel für logisches Denken in Binärzahlen ist die Argumentation dafür, warum jedes Bit einen bestimmten Wert haben „muss“ (z. B. es muss „1“ oder „0“ sein), um eine bestimmte Zahl darzustellen. Dadurch kann dann wiederum nachvollzogen werden, dass es für jede Zahl nur eine Darstellung gibt.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Erklären die Schüler ausdrücklich, dass das ganz rechts stehende Bit eine Eins sein muss, da dies die einzige ungerade Zahl und daher notwendig ist, um sämtliche ungeraden Zahlen bilden zu können? Ohne sie könnten wir nur gerade Zahlen bilden.
Können die Schüler erklären, dass jede Karte für eine bestimmte Zahl genau so gezeigt werden „muss“, wie sie es ist, z. B. dass die 16-Punkt-Karte für die Zahl 19 benötigt wird, da ohne sie nur 15 Punkte verblieben (nicht genügend), nicht jedoch für die Zahl 9, da dies zu viele Punkte ergeben würde?
Auswertung
Im Zuge einer Auswertung kann zum Beispiel ermittelt werden, wie viele verschiedene Werte mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt werden können (z. B. 5 Bits können 32 verschiedene Werte darstellen) und umgekehrt (um 1 000 verschiedene Werte darzustellen, werden mindestens 10 Bits benötigt).
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Können Schüler den mit 4 Bits möglichen Wertebereich bestimmen? (16)
6 Bits? (64)
8 Bits? (256)
Wenn wir einer Darstellung ein weiteres Bit hinzufügen – um wie viel wird der Wertebereich dadurch erhöht? (er verdoppelt sich)
Wenn wir einer Darstellung zwei weitere Bits hinzufügen – um wie viel wird der Wertebereich dadurch erhöht? (er vervierfacht sich)
Wie viele Bits benötigen wir, um 1 000 verschiedene Werte darzustellen? (10 reichen aus)
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