Beim Vergleichen von zwei Zahlen die größere Zahl bestimmen.
Mathematik: Zahlenverständnis
Durch Deuten auf die einzelnen Objekte akkurat zählen.
Mathematik: Zahlenverständnis
Erklären, warum eine bestimmte Karte (Bit) für eine bestimmte Zahl aus- oder eingeschaltet sein muss.
Informatisches Denken: Logik
Für die Zahlen 1 bis 8 gegebene Muster erkennen.
Mathematik: Zahlenverständnis
Schlüsselfrage
Was glaubt ihr, wie ein digitales Gerät Daten speichert?
Halten Sie alle Antworten als Vorschläge fest, um am Ende der Lektion darauf zurückzukommen.
Unterrichtseinstieg
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Hinweis der Autoren
Es ist uns aufgefallen, dass das Unterrichten des binären Zahlensystems für Schüler im Alter von 5–7 Jahren eher auf Zahlenwissen und Zahlenbestimmung ausgerichtet ist, als darauf, wie das binäre Zahlensystem funktioniert. Wir sind auch dafür, dass Schüler durch 1:1-Zuordnung zählen lernen, da sie dabei die Punkte zählen. Schüler werden zum Lernen motiviert, weil sie erfahren, wie Computer Daten speichern. Mitunter werden Ihnen Schüler Fragen stellen oder begeistert die in dieser Lektion behandelten Konzepte näher erkunden wollen. Wir haben jede Menge Informationen in diese Lektion gepackt, damit jedoch nicht beabsichtigt, dass sämtliche Konzepte unterrichtet und abgedeckt werden. Wir wollten Ihnen lediglich hilfreiche Informationen für den Fall an die Hand geben, dass Ihre Schüler Interesse bekunden, mehr zu lernen.
Hinweise zu Ressourcen
Für die Binärkarten ist auch eine interaktive Online-Version (eine 4-Karten-Version, die dieser Übung entspricht, oder eine 5-Karten-Version, sofern Schüler mit Zahlen bis zu 31 vertraut sind) aus dem Computer Science Field Guide verfügbar. Wir empfehlen jedoch, anfangs unbedingt die physischen Karten zu verwenden.
Wusstet ihr, dass sich im Inneren eines jeden Computers Milliarden (das ist eine wirklich große Zahl) von klitzekleinen Dingen befinden, die ein- und ausgeschaltet werden können, wie ein Lichtschalter, und dass man, wenn man ganz viele dieser Dinge zusammen hat, eine Zahl oder einen Buchstaben oder einen Film darstellen oder sein Lieblingsspiel auf seinem Gerät erstellen kann? Sehen wir uns also einmal an, wie das funktioniert. Nun müssen wir uns vorstellen, dass wir so winzig klein sind, dass wir uns jetzt im Innern eines Computers befinden und den Computer dazu bringen, eine Zahl anzuzeigen. Seid ihr bereit?
Hier ist zunächst einmal eine Karte, die das klitzekleine Ding ist, das ein- oder ausgeschaltet werden kann.
Halten Sie die vier Karten (1, 2, 4 und 8 Punkte), jedoch ohne dass die Punkte für die Schüler sichtbar sind. Bitten Sie vier Schüler darum, sich freiwillig zu melden, um als „Bits“ zu fungieren, und sich in einer Reihe vor der Klasse aufzustellen.
Händigen Sie der rechts stehenden Person die 1-Punkt-Karte aus. Erläutern Sie, dass er oder sie nun ein „Bit“ (also eine binäre Einheit) ist und ein oder aus, schwarz oder weiß, oder 0 oder 1 Punkt sein kann. Die einzige Regel ist, dass die Karte dieser Person entweder vollständig sichtbar oder nicht sichtbar (d. h. umgedreht) ist. Händigen Sie die zweite Karte aus, so dass sich die erste Karte ganz rechts befindet. Weisen Sie darauf hin, dass diese Karte entweder 2 Punkte hat oder keine.
Fragen Sie die Klasse, wie viele Punkte auf der nächste Karte sein werden. Lassen Sie die Schüler erklären, warum sie dieser Auffassung sind.
Unterrichtsbeobachtungen
Schüler behaupten in der Regel, dass es drei sein sollten. Wenn sie vier angeben, haben sie diese Übung möglicherweise bereits schon einmal gemacht (oder haben die Karten gesehen, die Sie halten!) oder sie haben eventuell sehr gute Mustererkennungsfähigkeiten! Wird die falsche Zahl angegeben, berichtigen Sie dies nicht, sondern fahren Sie kommentarlos fort, damit die Schüler die Regel selbst erarbeiten können.
Geben Sie wortlos die 4-Punkt-Karte aus und lassen Sie die Schüler versuchen, ein Muster zu erkennen. Das Ergebnis hängt vom Niveau ihres Zahlenwissens ab. Erwähnen Sie, dass sich jede Zahl verdoppelt (oder dass, wenn man zwei einer Karte hätte, diese die Karte daneben ergeben würden) und fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
Unterrichtsbeobachtungen
In den meisten Fällen weisen einige Schüler darauf hin, dass die Drei ausgelassen wurde. Merken Sie einfach an, dass Ihnen kein Fehler unterlaufen ist, dass etwas mit den Zahlen geschieht und die Drei mithilfe der Karten gebildet werden kann.
Fragen Sie, was die nächste Karte ist und warum.
Unterrichtsbeobachtungen
An dieser Stelle nehmen Schüler für gewöhnlich an, dass die nächste Karte die 6 ist (nachdem sie auf die Zahlen 2 und 4 folgt). Wenn Sie ihnen jedoch etwas mehr Zeit zum Nachdenken lassen, kommen normalerweise einige auf die 8, und diese Schüler sollten in der Lage sein, die anderen zu überzeugen, dass sie richtig liegen. Schüler können dies auf verschiedene Weise erklären. Beispielsweise, dass jede Karte den doppelten Wert der vorherigen hat, oder dass, wenn man zwei einer Karte nimmt, sich daraus die nächste Karte ergibt. Manche führen vielleicht auch das Muster 1+1=2, 2+2=4, 4+4=8 an.
Wenn Ihre Klasse das Zählen lernt, zeigen Sie alle Karten und zählen Sie, wie viele Punkte sich auf jeder Karte befinden. Achten Sie auf Verdoppelungsmuster und zählen Sie die Punkte, um dies unter Beweis zu stellen.
Zeigen Sie die vierte Karte und händigen Sie diese aus:
Unterrichtsbeobachtungen
Hintergrundinformationen für wissbegierige Geister! Würden wir weiter Karten aushändigen, hätten wir nach 8 Karten insgesamt 256 Punkte, wenn wir alle Karten zusammenzählen würden. Das sind 8 Bits, was allgemein als ein Byte bezeichnet wird. Dies hier zu erwähnen, kann unter Umständen ablenken, manche Schüler mögen jedoch bereits mit dem Konzept vertraut sein, dass 8 Bits ein Byte sind, und dies feststellen. Einstweilen arbeiten wir jedoch mit einer 4-Bit-Darstellung, was nicht ganz so praktisch ist wie ein ganzes Byte, zum Unterrichten jüngerer Schüler aber eine gute Größe ist. 4 Bits werden übrigens als ein Nibble (manchmal auch Nybble geschrieben) bezeichnet! Dies nur nebenbei als amüsante Zusatzinformation für interessierte Schüler.
Oftmals werden die Karten fälschlicherweise von links nach rechts ausgehändigt. Bei der Zahlendarstellung gilt jedoch der Grundsatz, dass sich der geringste Wert rechts befindet, was für Schüler ein wichtiges Konzept ist, das sie aus dieser Übung lernen können.
Unterrichtsaktivitäten
Geben Sie den Schülern die Regel bekannt, dass eine Karte die Punkte entweder anzeigt oder verdeckt. Wenn wir Karten durch Aufzeigen der Vorder- bzw. Rückseite einschalten (anzeigen) oder ausschalten (verdecken) können – wie würden wir 3 Punkte darstellen? Fragen Sie zunächst: Wie viele Punkte sind auf der Karte ganz links? Zählen Sie gemeinsam, dass dort 8 Punkte sind. Sehen wir uns jetzt die Zahlengerade an. Ist 8 größer als 3? Sie ist zu groß, verdecken wir sie also. Sehen wir uns nun die nächste Karte an. Wie viele Punkte sind zu sehen? Zählen wir sie. Es sind vier. Ist 4 größer als 3? Ja. Also müssen wir die Karte verdecken. Was würde passieren, wenn wir die 4 nicht verdecken würden? (Es wären zu viele Punkte vorhanden). Wie viele Punkte sind auf der nächsten Karte? Zählen wir sie. Dort sind 2 Punkte. Sehen wir uns jetzt die Zahl 3 an (zeigen Sie diese mit Materialien und zeigen Sie auf, dass 2 in 3 passt, mit wie vielen übrig?) Wir brauchen noch einen Punkt, um die Zahl 3 zu bilden. Also lassen wir diese Karte sichtbar.
Mit nur der Regel ausgestattet, dass jede Karte entweder sichtbar ist oder nicht, kommen Schüler für gewöhnlich auf die folgende Darstellung.
Mathematische Zusammenhänge
Bei jüngeren Schülern konzentrieren wir uns darauf, dieses Zahlensystem zu verwenden, um Zahlen darzustellen und die Assoziation zu schaffen, dass mit diesen „Bits“ jede beliebige Zahl gebildet werden kann. Wir richten das Augenmerk nicht auf weitere Kenntnisse zu Basiszahlensystemen. Die nachstehenden Ausführungen sind zusätzliche Informationen für Sie.
Für Lehrer: Basis 10 bzw. das Dezimalsystem (unser normales Zahlensystem) enthält 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Wenn wir im Dezimalsystem zählen, zählen wir von 0 bis 9 und haben dann keine Ziffern mehr. Also müssen wir eine weitere Spalte hinzufügen, eine 1 in diese Spalte eintragen und erneut von 0 anfangen zu zählen. So erhalten wir die Zahl 10. Dann wiederholen wir diesen Vorgang, bis die Zehnerspalte 9 und die Einserspalte 9 ausweisen (und somit 99 ergeben) und fügen dann eine weitere Spalte hinzu. Damit haben wir das bekannte Stellenwertsystem, das etwa folgendermaßen angezeigt werden kann:
100.000er | 10.000er | 1.000er | 100er |10er | 1 Hinweis: Dies ist ein erweitertes Beispiel. Verwenden Sie das Stellenwertbeispiel, das für den in Ihrer Klasse bereits unterrichteten Stoff geeignet ist.
Basis 2 bzw. das Dualsystem (Binärsystem) folgt derselben Logik, gelangt jedoch viel schneller zum „nächsten“ Stellenwert, da es nur zwei Ziffern gibt, nämlich 0 und 1. Die binären Stellenwerte sehen folgendermaßen aus:
32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Gelegentlich bringen Schüler die Reihenfolge der Einheiten in einer binären Darstellung durcheinander. Um Schülern dabei zu helfen, die richtige Anordnung von binären Einheiten zu verstehen, können Sie beispielsweise fragen: Wenn ich euch 435,00 Euro geben würde – an welcher Zahl hättet ihr das größte Interesse? An der 4 oder an der 5? Aus welchem Grund? Das Gleiche gilt für die binäre Darstellung: der niedrigste Wert (geringwertigste Einheit) steht ganz rechts, während die höchstwertigste Einheit ganz links steht.
Basis 16 bzw. das Hexadezimalsystem, das ebenfalls häufig auf Computern verwendet wird, enthält 16 Ziffern. Obgleich dies weit über den Rahmen dieser Lektion hinausgeht, wollten wir dennoch anmerken, dass eine hexadezimale Ziffer 4 binären Einheiten (Bits) entspricht, da beide 16 verschiedene Werte (von 0 bis 15) darstellen können. Die von den Schüler durchgeführte Übung bietet daher eine ausgezeichnete Grundlage, um später eine weitere gebräuchliche Darstellung zu verstehen, der sie auf digitalen Geräten begegnen werden.
Fragen Sie nun: „Wie würdet ihr die Zahl 6 bilden?“ (Fragen Sie auch hier zunächst, ob sie die 8er-Karte haben möchten usw., von links nach rechts).
Das Verfahren, mithilfe dessen wir diese Zahlen gebildet haben, ist ein Algorithmus, der unsere normalen Zählzahlen in eine binäre Darstellung umwandelt. Gehen wir jetzt gemeinsam noch einmal durch, wie wir dabei vorgegangen sind. Dafür ziehen wir nochmals das zuvor verwendete Beispiel zur Darstellung der Zahl 3 heran.
a. Fangen Sie mit allen Zahlen eingeschaltet (alle Punkte sind sichtbar) an. Sie könnten damit beginnen, die Schüler an abstrakte Darstellungen heranzuführen, beispielsweise durch Wechseln der Beschreibung der Karten (sichtbar/verdeckt, Punkte/keine Punkte, weiß/schwarz wenn die Rückseite schwarz ist, ja/nein oder ein/aus).
b. Geht 8 in 3? Nein – also schalten wir sie aus.
c. Geht 4 in 3? Nein – also schalten wir sie aus.
d. Geht 2 in 3? Ja – also lassen wir sie an. Wie viele verbleiben? (1)
e. Geht 1 in 1? Ja – also lassen wir sie an. Wie viele verbleiben? (keine)
Das Gelernte anwenden
Teilen Sie die Schüler in Paare ein.
Geben Sie jedem Paar einen Satz der kleineren Binärkarten.
Lassen Sie sie den Algorithmus für Zahlen unter 10 üben.
Erläutern Sie den Schülern, dass wir mit nur zwei Einheiten arbeiten und diese darum binäre Einheiten genannt werden. (Sie können auch anhand von Wörtern wie bilateral, biennal, bilingual und bikulturell näher auf die Bedeutung der Vorsilbe „bi“ eingehen.) Binäre Einheiten sind so verbreitet, dass wir eine Kurzbezeichnung dafür haben: Schreiben Sie „Binäre Einheit“ auf ein Blatt Papier und reißen Sie dann das „Bi“ am Anfang und das „t“ am Ende ab, setzen die beiden zusammen und fragen, welche Wortkombination („Bit“) dabei herauskommt. Das ist die Kurzbezeichnung für eine binäre Einheit. Daher bezeichnen wir die Karten als Bits. Und die vier Karten, die sie haben, sind im Grunde vier Bits.
Zählen wir jetzt von der kleinsten Zahl, die wir bilden können, bis zur höchsten Zahl.
a. Was ist die kleinste Zahl? (eventuell geben Schüler die 1 an und erkennen dann, dass es tatsächlich die 0 ist).
Lassen Sie die Zahl 0 mit den Karten anzeigen (d. h. keine Punkte sichtbar)
Zählen wir jetzt einmal vorwärts 1, 2, 3, 4 … (jedes Paar sollte diese Zahlen untereinander ausarbeiten).
Sobald sich dabei eine Routine entwickelt, fragen Sie: Wie oft sehen wir die 1-Punkt-Karte? (jedes zweite Mal, jede ungerade Zahl)
a. Welche anderen Muster können wir erkennen? (Die 2-Punkt-Karte wird alle zwei Zahlen umgedreht, die 4-Punkt-Karte alle vier Zahlen usw. Bei der 8-Punkt-Karte passiert nicht viel. Manche Schüler mögen sich schwer tun, dies zu erkennen. Am wichtigsten ist jedoch, dass sie verstehen, dass die 1-Punkt-Karte jedes Mal umgedreht wird und dass jede zweite Zahl eine ungerade Zahl ist).
Fahren Sie fort, bis alle Karten auf „ein“ geschaltet sind und bis 15 gezählt wurde. Was passiert als nächstes? (Wir müssen eine neue Karte hinzufügen.) Wie viele Punkte sind darauf? (16) Was müssen wir mit den anderen 4 Karten machen, wenn wir 16 erreichen? (wir müssen sie alle ausschalten)
Weiterführende Überlegungen ...
a. Wenn ich nun zwei Bits habe, die höchste Zahl, die ich bilden kann, ist? (3)
b. Ich füge ein weiteres Bit hinzu. Wie viele Punkte hat es? (4)
c. Um 4 zu bilden, schalte ich die ersten beiden Bits aus, richtig?
d. Wenn wir jetzt alle drei Bits einschalten, haben wir wie viele Punkte? (7)
e. Ich füge ein weiteres Bit hinzu und das hat wie viele Punkte? (8)
f. Wiederholen Sie dies, bis ein Muster erkannt wird, dass die Zahl auf der nächsten Karte um eins größer ist als die Gesamtzahl der Punkte auf allen Karten zur Rechten (beispielsweise ergeben die 4er, 2er und 1er Karte 7 Punkte, die nächste Karte zur Linken ist also 8). Dies erleichtert das Berechnen der Zahl, wenn alle Bits eingeschaltet sind – die Karte zur Linken verdoppeln und 1 subtrahieren.
g. Wie viele verschiedene Zahlen kann ich mit zwei Bits bilden? (4; Schüler geben oftmals 3 als Antwort, da sie die 0 nicht mitgezählt haben).
h. Fügen wir nun das nächste Bit hinzu. Wie viele verschiedene Zahlen können wir jetzt bilden? (8; auch hier wird oft zunächst 7 als Antwort gegeben).
i. Wiederholen Sie dies, bis ein Muster erkannt wird, dass mit jedem Hinzufügen eines weiteren Bits doppelt so viele Zahlen dargestellt werden können.
Unterrichtsbeobachtungen
Manche Schüler mögen sich hier mit dem Konzept schwer tun, dass die Anzahl der Werte um eins größer ist als der Höchstwert (z. B. von 0 bis 7, hier haben wir 8 verschiedene Zahlen). Dieses Muster kann auch bei der Anzahl normaler Dezimalzahlen beobachtet werden: Die größte Zahl ist 9, es gibt jedoch 10 mögliche Zahlen (einschließlich 0). Dies wird gelegentlich auch als Zaunpfahlproblem bezeichnet (die Anzahl der Zaunpfähle ist um eins größer als die Anzahl der Zwischenräume), was bei der elektronischen Datenverarbeitung und in der Mathematik häufig vorkommt.
Lektionsbetrachtung
Würde diese Übung funktionieren, wenn wir weiße und cremefarbene Karten verwendeten? Warum? Warum nicht?
Generell könnten diese verwendet werden, es wäre jedoch keine gute Idee. Hier zielen wir auf die Antwort ab, dass es sich nicht um Kontrastfarben handelt und daher schwer zu erkennen wäre, ob sie ein- oder ausgeschaltet sind. Computer lassen sich einfacher konstruieren und stürzen seltener ab, wenn zwei gegensätzliche Werte verwendet werden.
Gibt es noch andere Möglichkeiten, um physisch darzustellen, dass die einzelnen Bits ein- oder ausgeschaltet sind?
Hier sind Ideen gefragt wie beispielsweise die Karten nach oben oder nach unten zu halten, einfach den Arm hochzustrecken, sitzen oder stehen oder sich einer anderen Darstellung wie ein- oder ausgeschalteter Glühbirnen zu bedienen.
Was könnten wir noch verwenden, um zwei Gegensätze wie Ein und Aus in Schriftform darzustellen?
Etwa ein Kreuz oder Häkchen, ein glückliches oder trauriges Gesicht, oder eine sonstige Symbolpaarung.
Informatische Denkzusammenhänge erkennen
Aus allen Lektionen ergeben sich Verbindungen zu informatischem Denken. Nachstehend sind ein paar allgemeine Verbindungen aufgeführt, die diesen Inhalt betreffen.
Teaching computational thinking through CSUnplugged activities supports students to learn how to describe a problem, identify what are the important details they need to solve this problem, break it down into small logical steps so that they can then create a process which solves the problem, and then evaluate this process. These skills are transferable to any other curriculum area, but are particularly relevant to developing digital systems and solving problems using the capabilities of computers.
Diese informatischen Denkkonzepte sind alle miteinander verbunden und stützen sich gegenseitig. Insoweit möchten wir jedoch anmerken, dass nicht alle Aspekte des informatischen Denkens in jeder Unterrichtseinheit oder Lektion vorkommen. Wir haben jeweils die für Sie wichtigen Verbindungen hervorgehoben, um Ihre Schüler in Aktion zu beobachten. Unser Artikel zu informatischem Denken enthält weitere Hintergrundinformationen dazu, wie wir informatisches Denken definieren.
Algorithmisches Denken
In dieser Lektion haben wir einen Algorithmus angewendet, um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln. Es ist ein Algorithmus, da es sich um ein schrittweises Verfahren handelt, das für jede Eingabe stets die richtige Lösung liefert, solange das Verfahren genau eingehalten wird.
Hier ist ein Algorithmus in Textform, mit dem ausgerechnet werden kann, welche Punktekarten zu sehen sein sollten:
Zunächst müssen wir die Anzahl der zu zeigenden Punkte herausfinden. (Wir bezeichnen dies als die „Anzahl der verbleibenden Punkte“, was anfangs die insgesamt zu zeigende Anzahl ist.)
Für jede Karte, von links nach rechts (d. h. 8, 4, 2 und dann 1), gilt:
Wenn die Anzahl der Punkte auf der Karte höher ist als die Anzahl der verbleibenden Punkte:
Karte verdecken
Anderenfalls:
Karte zeigen
und die Anzahl der Punkte auf der Karte von der Anzahl der verbleibenden Punkte abziehen
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche Schüler gehen beim Umwandeln von dezimal zu binär methodisch vor? Welche Schüler beginnen mit der Karte ganz links und arbeiten sich dann Karte für Karte nach rechts vor, anstatt Karten zufällig auszuwählen und hin und her umzudrehen, bis sie zur richtigen Zahl gelangen?
Abstraktion
Abstraktion und abstraktes Denken sind für jüngere Schüler in der Regel schwer nachvollziehbar. Für sie ist daher sicherlich nur ein geringer Teil dieser Lektion geeignet. Wir haben diese Ausführungen jedoch hier miteinbezogen, da sie nützliches Hintergrundwissen zum Unterrichten dieses Themas darstellen.
Abstraktion hilft uns, Dinge zu vereinfachen, da wir Einzelheiten ignorieren können, die wir gegenwärtig nicht wissen müssen. Die binäre Darstellung von Zahlen ist eine Abstraktion, hinter der sich die Komplexität der innerhalb eines Computers befindlichen Elektronik und Hardware verbirgt, mittels der Daten gespeichert werden.
In diesem Fall können wir beispielsweise folgende Einzelheiten ignorieren: Computer nutzen physische Elemente wie elektronische Schaltkreise und Spannungen in Stromkreisen, um Daten zu speichern und weiterzuleiten, was durch zahlreiche komplexe physikalische und mathematische Theorien ermöglicht wird.
Es ist für uns völlig unerheblich, wie diese Schaltsysteme funktionieren, da wir anhand der binären Abstraktion in Zahlen, die aus Bits (Nullen und Einsen) bestehen, Daten begreifen und Probleme lösen können, ohne darüber nachdenken zu müssen, was „unter der Haube“ des Computers vor sich geht.
Außerdem lässt sich anhand von Abstraktion überlegen, wie jede beliebige Zahl binär dargestellt werden kann. Dazu werden lediglich zwei unterschiedliche Dinge benötigt. Und es kann sich dabei um alles Mögliche handeln! Zwei unterschiedliche Farben, Tiere, Symbole usw. Solange es zwei davon gibt und die beiden verschieden sind, kann damit jede beliebige Zahl binär dargestellt werden, genauso wie ein Computer mithilfe von elektronischen Impulsen Daten darstellt.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche der Schüler können demonstrieren, wie Binärzahlen mit anderen Mitteln als „Einsen und Nullen“, „Schwarz und Weiß“ oder „Ein und Aus“ umgewandelt und dargestellt werden können (beispielsweise mittels :] und :[ oder anhand von stehenden oder sitzenden Personen)? Wenn es Ihnen möglich ist, Begriffe wie „Schwarz“ und „Weiß“ mit 0 und 1 zu vertauschen, ohne dass sich die Schüler Gedanken über den Unterschied machen, wenden sie Abstraktion an.
Dekomposition
Bei der Dekomposition wird beispielsweise die Umwandlung einer Zahl zur Binärzahl in die einzelnen Bits zerlegt. Die Frage „Sollte dies 1 oder 0 sein“ für jede Punktekarte zerlegt das Problem in eine Reihe von Fragestellungen.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche Schüler erkennen, dass es wichtig ist, mit der Karte ganz links zu beginnen und stets ein Bit nach dem anderen ins Auge zu fassen? Welche Schüler konzentrieren sich jeweils auf ein einzelnes Bit, anstatt sich selbst mit dem Versuch zu überwältigen, alle auf einen Schlag auszurechnen?
Generalisierung und Muster
Das Erkennen von Mustern in der Funktionsweise des binären Zahlensystems hilft uns dabei, die damit einhergehenden Konzepte besser zu verstehen und diese Konzepte und Muster zu verallgemeinern, um sie dann auf andere Probleme anzuwenden. Jüngeren Schülern könnte es etwas schwerer fallen, diese Muster zu verallgemeinern, doch allein das Erkennen der Muster ist eine gute Übung.
Auf einem einfachen Niveau haben wir mit den Zahlen 1, 2 und 4 angefangen, die dann von den Schülern auf sich verdoppelnde Werte generalisiert wurden. Bei dieser Übung wurde zu 4-Bit-Zahlen umgewandelt, doch manche Schüler (die in der Lage sind, hoch genug zu zählen), können dies unter Umständen auf weitere 8-Bit-Zahlen oder größer generalisieren.
Der Algorithmus zur Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Binärzahl folgt einem Muster, das verallgemeinert werden kann, um die Frage des Wechselgelds bei einer Barzahlung zu lösen. Für Binärzahlen beginnen wir mit dem größten Bit und schalten es „ein“, wenn es benötigt wird, oder schalten es „aus“, wenn es nicht benötigt wird. Genauso ist es auch, wenn wir Wechselgeld geben: wir beginnen mit der größten Stückelung und nehmen dann sooft wie nötig eine Münze (oder einen Geldschein). Jargon-Hinweis: Das nennt sich gieriger Algorithmus.
Mathematische Zusammenhänge
Fragen Sie die Schüler, was im Gegensatz zum allgemeinen Algorithmus des Wechselgeldgebens das Besondere an der Umwandlung von dezimalen zu binären Zahlen ist, und machen Sie sie darauf aufmerksam, dass im allgemeinen Fall unter Umständen mehr als eine Münze derselben Stückelung herausgegeben werden muss, während bei der binären Umwandlung immer nur ein (oder kein) Element einer jeden Einheit gegeben ist.
Beim binären Aufwärtszählen liegt ein Muster vor, wie oft bestimmte Karten umgedreht sind. Das erste Bit (mit 1 Punkt) wird jedes Mal umgedreht, wenn wir um eins vorwärts zählen, das zweite (mit 2 Punkten) wird bei jeder zweiten Zahl umgedreht, das dritte (mit 4 Punkten) bei jeder vierten … Gibt es ein ähnliches Muster, wenn wir in Dezimalzahlen zählen?
Wenn wir vier der Karten haben und alle sichtbar sind, haben wir die Zahl 15, die um eins kleiner ist als der Wert der nächsten Karte, 16. Trifft dieses Muster immer zu?
Die Anzahl der Zahlen, die mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt werden kann, entspricht dem Wert des nächsten Bit, das hinzugefügt werden kann. Beispiel: Anhand von vier Karten (1, 2, 4, 8) können 16 unterschiedliche Zahlen (0-15) dargestellt werden und die nächste Karte in der Folge ist die Zahl 16. Jedes Mal, wenn wir die nächste Karte hinzufügen, verdoppeln wir auch die Anzahl der verschiedenen Zahlen, die wir darstellen können.
Wenn wir mithilfe dieser Muster vorgehen, können wir die Beziehung zwischen der Anzahl der verwendeten Bits und ihrer Darstellungsfähigkeit besser nachvollziehen.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Welche Schüler erkennen schnell, dass jede Karte die Anzahl der Punkte verdoppelt? Welche Schüler verstehen mühelos die Muster umgedrehter Karten beim Zählen mit Binärzahlen?
Logik
Logisches Denken bedeutet, von bereits bekannten Regeln Gebrauch zu machen und von diesen Regeln unter Einsatz von Logik weitere Regeln und Informationen abzuleiten. Sobald wir wissen, welche Zahlen die einzelnen Binärkarten darstellen, können wir mithilfe dieses Wissens herausfinden, wie weitere Zahlen mit den Karten dargestellt werden können. Wenn wir uns einprägen, wie wir die mit vier Karten möglichen Zahlen darstellen können – bedeutet dies, dass wir dann wissen, wir wir jede beliebige Zahl mit einer beliebigen Anzahl von Bits darstellen können? Das bedeutet es zwar nicht, aber wir können nachvollziehen, wie es funktioniert, wenn wir die Logik verstehen, auf deren Basis diese Zahlen mit den vier Karten dargestellt werden.
Ein gutes Beispiel für logisches Denken in Binärzahlen ist die Argumentation dafür, warum jedes Bit einen bestimmten Wert „haben muss“ (z. B. es muss „ein“ oder „aus“ sein), um eine bestimmte Zahl darzustellen. Dies wiederum führt zu dem Argument, dass es für jede Zahl nur eine Darstellung gibt.
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Erklären die Schüler ausdrücklich, dass das erste Bit eine Eins sein muss, da dies die einzige ungerade Zahl und daher notwendig ist, um sämtliche ungeraden Zahlen bilden zu können? Ohne sie könnten wir nur gerade Zahlen bilden. Können die Schüler erklären, dass jede Karte für eine bestimmte Zahl genau so gelegt „sein muss“, wie sie es ist, z. B. wird die 8-Punkt-Karte für die Zahl 9 benötigt, da ohne sie nur 7 Punkte verblieben (nicht genügend), nicht jedoch für die Zahl 6, da dies zu viele Punkte ergeben würde?
Auswertung
Im Zuge einer Auswertung kann zum Beispiel ermittelt werden, wie viele verschiedene Werte mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt werden können (z. B. 4 Bits können 16 verschiedene Werte darstellen) und umgekehrt (um 1 000 verschiedene Werte darzustellen, werden mindestens 10 Bits benötigt).
Worauf Sie beispielsweise achten können:
Können Schüler den mit 2 Bits möglichen Wertebereich bestimmen? (4)
3 Bits? (8)
4 Bits? (16)
Wenn wir einer Darstellung ein weiteres Bit hinzufügen – um wie viel wird der Wertebereich dadurch erhöht? (er verdoppelt sich)
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